用有限覆盖定理证明聚点定理

有限覆盖定理，简言之就是指闭区间的无限开覆盖，可以削弱为有限开覆盖。聚点定理则是指有界无穷点集必有聚点。

若[-M,M]中任何点都不是S的聚点，则对每一个x∈[-M,M]，【如果在这个闭区间上任何点都不是S的聚点，这是反证法应用的开始。要证明这么说是错误的。】

必存在相应的δx0，使得U(x,δx)内至多有S的有限多个点.【假如上面的说法是正确的，那么这个闭区间上的任何一个点x，必存在对应的一个正数δx，使得U(x,δx)内都至多有S的有限多个点。】

有限覆盖定理概述：

定理：设H为闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a,b]。开覆盖的定义：设S为数轴上的点集，H为开区间的集合，（即H中每一个元素都是形如(a,b)的开区间）。若S中的任何一点都含在至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或简称H覆盖S。

若H中的开区间的个数是有限（无限）的，那么就称H为S的一个有限（无限）覆盖。

有限覆盖定理是实数定理：1、确界定理。2、单调有界数列必收敛、闭区间套定理。4、聚点定理。5、凝聚定理的逆否命题。用1-5定理证明有限覆盖定理比较简单，用反证法即可以完成。而用有限覆盖定理证明1-5，也要用反证法，但是初学者对如何构造具体的开覆盖是不如上面的直观。

有限覆盖定理到底有什么意义

有限覆盖定理：设H是闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则必可从H中选择有限个开区间来覆盖[a,b]。

有限覆盖定理是实数定理：

1.确界存在定理；2. 单调有界定理；3.闭区间套定理；4.聚点定理；5. 柯西收敛准则的逆否命题。这6个定理是等价的，可以互相推出对方，它们都反应了实数的连续性与完备性，在数学分析上有着重要的运用。

尤其是有限覆盖定理，它可以推广到n维空间（此时定理的描述会发生改变，但本质不变），从而定义了紧集和紧空间等。

当然，利用有限覆盖定理，还可以证明闭区间上连续函数的某些性质。在这里作为例子，利用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数一致连续。

怎么用有限覆盖定理证明致密性定理？

证明方法：

设﹛xn﹜为有界数列，并设它们全部包含在[a,b]内。如果它不存在收敛子序列，于是对[a,b]内的任一点x0,都不可能是﹛xn﹜的某个子序列的极限。

因此恒存在一个邻域O﹙x0,δ﹚除了x0可能与有限个xn相等之外，其内不含其它的xα, 而邻域系﹛O﹙x0,δ﹚﹜x0∈[a,b]构成[a,b]一个开覆盖。

由有限覆盖定理,能从﹛O﹙x0,δ﹚﹜x0∈[a,b]中选出有限个覆盖[a,b]，当然也覆盖所有﹛xn﹜.但是有限个这种邻域内至多包含有限个xn，产生矛盾。

因此﹛xn﹜存在收敛子列，致密性定理得证。

有限覆盖定理：

定理:设H为闭区间[a,b]的一个(无限)开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a,b]。

开覆盖的定义:设S为数轴上的点集，H为开区间的集合，(即H中每一个元素都是形如(a,b)的开区间)。

若S中的任何一点都含在至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或简称H覆盖S。

若H中的开区间的个数是有限(无限)的，那么就称H为S的一个有限(无限)覆盖。

有限覆盖定理是实数定理。确界定理。单调有界数列必收敛。闭区间套定理。聚点定理。凝聚定理的逆否命题。

有限覆盖定理怎么用？

所谓有限覆盖定理，是指：对于有界闭区间[a，b]的一个（无限）开覆盖H中，总能选出有限个开区间来覆盖[a，b]。

这一问题可用区间套定理来证明。（区间套定理：若[an,bn]是一个区间套，则在实数系中存在唯一一点C，使对任何n都有c属于[an,bn].{an}单调递增，{bn}单调递减，都以c为极限。）

证明：用反证法 假定不能用H中有限个开区间来覆盖[a,b].

将[a,b]等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖。记这个子区间为[a1,b1],则[a1,b1]包含于[a,b],且b1-a1=(b-a)/2.

再将[a1,b1]等分为两个子区间，同样，其中至少有一个不能用H中有限个开区间覆盖。记这个子区间为[a2,b2],则[a2,b2]包含于[a1,b1],且b2-a2=(b-a)/2^2.

重复以上步骤并不断进行下去，则可得到区间列{[an,bn]},它满足区间套条件，且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖。

但，由区间套定理，存在唯一点c属于所有区间[an,bn].由于H是[a,b]的开覆盖，一定存在H中的一个开区间(a0,b0),使c属于(a0,b0).即a0cb0.而{an}，{bn}都以c为极限，即知，存在N，当nN时,a0an=c=bnb0.这表明，只用开区间(a0,b0)就覆盖了区间[an,bn].

这与挑选[an,bn]时假设“[an,bn]不能用H中有限个开区间覆盖”矛盾。从而证得，必存在H中有有限个开区间能覆盖[a,b].

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